吴卓

　　【摘要】在数学学习的过程中，总会有无数的“错误”正在发生或者将要发生。课堂学习时，教师要对“错误”给予判断，仅仅停留于甄别的“看见”还远远算不上看见，所谓真正的看见，不仅要看见错误的“结果”，更要看见错误的“过程”。唯有真正的“看见”，才会给错误带来最为有效的转化与赋“活”。

　　【关键词】看见;错误;思维的过程

　　在数学学习的过程中，总会有无数的“错误”正在发生或者将要发生。批改作业本时，教师需要用大大的勾和醒目的叉区分“正确”的和“错误”的;课堂学习时，教师也需要对“正确”的和“错误”的给予判断与评价，如果仅仅是甄别对错算是对于错误的“看见”吗? 笔者认为，仅仅停留于甄别的“看见”还远远算不上看见，真正的看见，不仅要看见错误的“结果”，更要看见错误的“过程”。错误的思维过程是什么?怎么一点点地发生了错误?是什么概念的理解偏差引起了错误?经由对错误思维过程的分析我们会发现，看上去一样的错误，可能却是不同的思维过程造成的。唯有真正的“看见”才会给错误带来最为有效的转化与赋“活”。

　　在教学了四年级的数量关系这一内容时，练习中出现了这样一道判断题。

　　“每千克苹果8元” 这句话表示苹果的单价。 ( )

　　大部分学生能够正确判断，知道这句话是对的，可也有个别学生给这句话打了叉，作为教师的往往能发现他们做错了，却不能理解他们为什么做错，更不知道如何帮助他们。

　　讲解这道练习时，我直接问学生：“这句话对吗?”

　　生1：对的。

　　生2坐在座位上大喊：“不对。”

　　“不对?”当一个孩子坚定而大声地喊出不对时，教师愣住了，于是好奇地问：“怎么不对呢?”

　　生2解释说：“单价应该是每个苹果是多少钱，不是每千克多少钱。”

　　生3： “每千克多少元也是单价啊。”

　　生4：“不对，苹果哪有按个卖的，苹果不都是按斤、按千克卖的?所以我觉得这句话是对的，如果说每个8元才不对呢!”

　　生5：“不管有没有这样的卖法，我觉得每个8元，每千克8元都是单价。”

　　师：“嗯，什么是单价呢?”

　　生6：“就是每个多少钱，每千克多少钱，这些都是单价。”

　　教师在此基础上继续补充抽象：“说得很好，无论是每个，还是每千克，它们都是单位的数量，单位数量的价格就是单价”

　　“你还能想到哪些单位数量?”

　　学生七嘴八舌地讨论起来，比如每本，每平方米，每吨……

　　这时候孩子逐渐从具体的单位数量向抽象的单位数量进行扩展。

　　“能再说单位数量的价格吗?”

　　……

　　这个错误，小到太不起眼，小到我们完全会忽视，因为每天或许有更多更重要、更难的知识需要我们关注，但是恰恰是通过和孩子们共同学习的过程，我有机会重新看待每一天发生在学生学习过程中一个个不起眼的错误，开始重新审视对待错误的态度和方法。

　　一、“错误”需要被真正地“看见”

　　从上一个案例中，我们会发现，教师看见错误的“结果”，但并不知道错误的“过程”，这时教师是无法有针对性地帮助学生的。由于缺乏理解，这个小小的错误很容易埋没在茫茫错误中，被大家忽略掉。庆幸的是，教师在此时愿意选择听一听学生关于这道题目的完整的思维过程，让他们有机会将完整的思维过程呈现出来。经历了学生完整的辩论，我发现这个孩子的错误在于对单价这个概念的理解，他不能理解抽象的“单位数量”，他以为必须是具体数量的每个、每本……其实“单位数量”还包括比较抽象的单位数量，例如每千克、每平方米等。经历了学生完整的思维过程的叙述，作为教师这才算理解了学生的错误，并能有针对性地就这个错误展开单位数量和单价概念的教学。

　　平时的教学中，教师能够很快地发现学生的某些“观点”是错误的，某个问题的解决是错误的。但是如果仅仅是甄别，最多是对于错误的表层认识而已，这不足以帮助教师去理解学生，不足以支持教师开展有效的教学活动。唯有由表及里地将学生错误的思维过程完整地看见，才是有价值的“看见”。不论是课堂教学中，还是作业批改时，当我们看见了错误，必须要慢一些再慢一些，尝试去理解学生发生错误的缘由，如果理解不了可以去找学生问一问，听一听学生的思维过程。课堂教学中，当我们听到那些与我们不同的观点和结论时，除了关注结果外，更要关注过程，不妨让孩子说一说他是怎么想的。让思维被“看见”，错误才能真正地被“看见”。

　　当学生被问及希望从教师那里获得什么时，学生总是回答希望教师能理解他们的学习。只有愿意看见学生错误的思维过程，才能更快地实现对学生学习的理解。

　　二、正确认识错误才能利于错误被“看见”

　　这个案例中的学生坚定而大声地喊出了和同学不一样的观点，这个小小的细节也是非常值得关注的。在这里他的声音一定是一个不同于大多数的“异类”，所以他能大声而坚定地喊出自己的观点“不对”，这是一个需要很大勇氣的举动。在平时的教学中，我们会发现有很多学生面对和大家不一样的答案时，会选择采取默不作声的方式来保留自己的想法，或是顺着教师和同学的意见。如果这个学生也这样，教师和学生可能都会错过这个精彩的讨论，错过对这个小概念的深度地认识，相信他就算知道了正确答案，也还是不知道问题出在哪里，也很难避免以后犯同样的错误。

　　如何能有机会更完整地“看见”错误呢?根据观察发现，越往高年级的课堂上，学生越不愿意表达自己的想法，还有一些学生需要深思熟虑确认自己的想法完全正确之后才敢表达。这份小心谨慎的背后所反应的恰恰是对于暴露错误的畏惧。不敢暴露自己的错误常常是由于教师和同学对错误的态度引发的：第一，来自教师的错误的态度。一些教师在提问前已经有了唯一的答案，当学生恰好答中教师的期待时，那份不自知却又是难以抑制的兴奋却早已跃然于教师的脸上，与此相反时，各种不耐烦、不满也会从教师举手投足中流露出来。有时甚至只是一个不经意的失望的眼神，学生都会敏感地捕捉到，从而丧失了真实表达的勇气。第二，来自同伴的讥讽嘲笑。学习的过程中，同伴也可能令人“极其生厌”。课堂上有的同学回答错误了，同伴不由自主的各种唏嘘嘲笑，这对于回答问题的同学来说，势必是很深的伤害。那么在这样的学习氛围中，如果不能确定回答是正确的，谁敢自讨没趣呢?

　　所以这个案例中，这位学生那个不起眼的举动与平时里师生对于“错误”的共同认识是息息相关。对于师生来说，他们应该能共同认识到，学习的实质就是将其已知的东西进行概念重构，从而获得新理解的过程。学习中他们要能识别出错误并在此基础上去重构先前的想法，这时错误是一种学习过程中重要的资源，经历了重构的错误，其价值才能被转化与提升。因此，错误并不可怕，犯错也不是无能的表现。教师可以通过创造思维的挑战来帮助学生实现错误的重构与转换。如果我们在学习的过程中，不犯任何错误，我们学习的需求可能就会降低，因为这时很可能缺乏足够的挑战。

　　当师生能提高对于学习过程中出现错误的包容度和接纳度，能够看见错误的价值时，就可以将注意力放在如何利用错误上，这样学生就会更加大胆地呈现自己完整的思维过程，将思维的过程暴露在大家面前以供学习，而不是担心是否会犯错，也不会因为错误而感到紧张、沮丧，甚至感到难堪。最好的是在犯错前就争先提出疑惑，直接勇敢地暴露自己的思维过程。

　　这个案例中小小的细节折射出了这个学习的共同体对于错误的共识，这份共识鼓励了这位学生对于自己观点的那份毫不犹豫的坚持。无论对错，我们都可以去坚持，通过与同伴的讨论与交流展开知识的建构与学习，既可以发展自己独立思考的能力，也能发展批判性的思维能力。

　　三、基于“看见”的重构才能实现真正的转化

　　在纠错的过程中，我们常常发现一个有趣的现象：学生虽然听懂了老师和同学的介绍，也能正确地运用了，但是不久之后，当再次遇到这道题目时，可能又会做回原来错误的方式。这是因为知识的学习如果不能基于学生的已有经验，没有弄清旧方法的问题并在此基础上对知识展开重新建构时，新知识和旧经验之间的关系就是断裂的。因此时间一长，旧经验还在那里，而新知识与旧经验却脱钩了。

　　正如文中的案例，如果看不见学生关于这个错误的完整的思维过程，教师可能就会直接告诉他：像这样单位数量的价格就是单价，每千克8元就是单价，这句话本身学生就不能理解，在大家都觉得早已明白的地方，他可能还是不理解，处于迷糊的状态，可是大家都会了，他又不好意思再问了。而那些觉得懂了的同学也未必是真懂的。相反，在这个案例中，因为有了對学生关于错误的思维过程分析，我们清楚地知道这个学生的错误来自对什么是单位数量这个概念的片面性的理解。于是经由师生之间的讨论，帮助这位学生基于他的经验，对单位数量这个概念进行了扩充和完善，从他先前认识的到具体的单位数量，丰富到抽象的单位数量。这样他就能基于已有经验，将这个知识进行重构，更为清晰完整地建立单位数量、单价的概念。只有基于错误的重构，才能建立新旧知识之间的联系，让错误在此获得一次重新生长的机会。

　　当错误被“看见”后，我们会发现学生的错误常常是非常个性化的，发现看上去“结果”一样的错误，却有着完全不同的思维过程。不同的错因纠正和指导的关键点常常是不太一样的，如果不能弄清需要帮助的地方，就很难帮助学生进行有效的重构。并且这个重构的过程最好是通过师生共同完成，还需要留有“发酵”的空间，让师生、生生之间的讨论成为这个空间力的“活性剂”，让“错误”思考有机会通过教师、同学这些“活性剂”的参与而发生质的变化，产生全新的更有价值的生命物质，从而焕发生命活力。

　　正如学生们的这段看似不长的讨论，放慢了概念的理解和建构的过程，帮助所有学生一步步地靠近概念的本质。生4说：“不对，苹果哪有按个卖的，苹果不都是按斤、按千克卖的?所以我觉得这句话是对的，如果说每个8元才不对呢!”这句话让我们发现，这位学生虽然做出了正确的答案，但是他对于单价这个概念的理解也是有偏差的。如果没有看见错误的“过程”，只看见错误的“结果”，怎么可能知道这位学生对单位数量的理解也是不完善的?生5说：“不管有没有这样的卖法，我觉得每个8元，每千克8元都是单价。”这时，有了一定经验的积累后，教师开始参与帮助学生进行概念的抽象：“嗯，什么是单价呢?”学生顺着教师的点拨继续抽象：“就是每××多少钱，如每个多少钱，每千克多少钱，这些都是单价。”学生这些不断接近抽象却没有完成抽象的语言，成了学生走向概念抽象的台阶，通过一个接一个的推进，所有学生都更加清楚明白，什么是单价，什么是单位数量。

　　教师既需要认真倾听，又需要恰当地干预与引导，关注同伴对话中问题，激发了同伴之间高质量的对话，促进了学生认知能力的发展，铸就了一个非常精彩的学习过程。

　　尽管学生在学习中有许多共性的地方，但学习仍然是一个非常个性化的旅程，而学习过程中不断出现的错误，就更是精彩纷呈。要想看见每一位学生的错误，并不是那么容易，但是教师如果尽可能多地去了解这一个个性独特的错误过程，更加尊重蕴含在“错误”中的不同思维过程，就能更好转化它，焕发它独特的生命活力，将其赋“活”。

　　在学习的过程中，学生唯有清楚地感受到他们的观点能被教师看见，并能就此与教师进行交流，学生才能真正地参与到学习的过程中来。被这样教育和滋养着的学生也一定会学着教师的方式去理解同伴和看见同伴的学习，才能更好地将一个个错误变得精彩，让错误的价值得到最大化发挥，让错误赋予生命的活力。